Предисловие

Дидактические материалы по курсу алгебры и начал анализа содержат 45 самостоятельных и 7 контрольных работ в четырех вариантах, а также тест для самоконтроля в двух вариантах. Ко всем вариантам контрольных работ и к тесту имеются ответы.

Содержание дидактических материалов полностью соответствует учебнику серии «МГУ – школе» для 10 класса и существенно дополняет учебник более сложными заданиями, необходимые для работы в классах, нацеленных на подготовку учащихся в вуз. Дидактические материалы можно использовать в классе и дома при работе по любым учебникам, а также для восполнения пробелов и самообразования.

К каждой самостоятельной работе в первой части книги даны примеры выполнения заданий, аналогичных заданиям, включенным в самостоятельную работу. При этом образцы даны не для всех заданий и не повторяют задания самостоятельной работы, но работа с ними существенно повысит результативность выполнения самостоятельных работ и усвоение темы в целом.

Материалы для подготовки к самостоятельным работам содержат подробные объяснения решений заданий, так как имеют целью объяснение выбранных способов действий. А оформление решений учащимися могут быть краткими, в них, как правило, пропускают комментарии при выполнении равносильных преобразований уравнений или неравенств.

Темы, отмеченные в дидактических материалах звездочкой, не является обязательными для изучения в общеобразовательном классе. Они охватывают программу углубленного изучения математики (профильных классов). Так как по учебникам серии «МГУ – школе» вопросы, связанные с неравносильными преобразованиями уравнений и неравенств, отнесены в 11 класс, то дидактические материалы для 10 класса, кроме простейших показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств, содержат задания на применение замены неизвестного, что позволяет решать достаточно сложные задачи, не применяя сложных общих методов решения (переход к уравнению-следствию и пр.), которые будут изучены в 11 классе.

Первые самостоятельные работы нацелены на повторение и систематизацию изученного в девятилетней школе. Предложенные работы могут использоваться как обучающие самостоятельные работы для классной или домашней работы. Любые из самостоятельных работ учитель может использовать для контроля на отметку. Но при этом следует учесть, что многие самостоятельные работы и все контрольные работы избыточны по объему, предполагается, что учитель самостоятельно отберет из них часть заданий с учетом уровня подготовки учащихся по предмету и времени, отводимого на выполнение работы.

Следует учесть, что некоторые задания вариантов III и IV несколько сложнее соответствующих заданий вариантов I и II. Так как в классах с углубленным изучением математики контрольных работ должно быть больше, чем в классе, работающему по общеобразовательной программе, то отдельные самостоятельные работы, отмеченные звездочками, можно провести как контрольные работы.

Оглавление (нумерация страниц для примера)

                                                                                                              

1. Действительные числа                                                                                           

2. Применение формул сокращенного умножения

3. Квадратное уравнение. Формулы Виета

4. Алгебраические дроби

5. Рациональные уравнения

6. Замена неизвестного при решении рациональных уравнений

7.* Доказательство числовых неравенств

8.* Метод математической индукции

9.* Перестановки, размещения, сочетания

10. Формула бинома Ньютона

11.* Деление многочленов. Корень многочлена

12. Рациональные неравенства

13.* Замена неизвестного при решении рациональных неравенств

14.* Замена неизвестного при решении иррациональных уравнений и неравенств

15.* Задачи с параметром

16. Корень степени n

17.* Функция y =  

18. Степень с рациональным показателем

19.* Предел последовательности

20. Логарифмы

21. Показательные и логарифмические уравнения

22. Показательные и логарифмические неравенства

23.* «Однородные» показательные уравнения и неравенства

24. Градусная и радианная меры угла

25. Запись углов, заданных на единичной окружности

26. Синус и косинус угла

27. Формулы для sin и cos

28.* Арксинус и арккосинус

29. Тангенс и котангенс угла

30. Формулы для tg  и ctg

31.* Арктангенс и арккотангенс

32. Косинус суммы и разности двух углов. Синус суммы и разности двух углов

33. Формулы приведения для синуса и косинуса

34. Сумма и разность синусов и косинусов

35. Формулы синусов и косинусов двойных и половинных углов

36. Произведения синусов и косинусов

37. Формулы для тангенсов

38. Тригонометрические функции

39. Простейшие тригонометрические уравнения

40. Замена неизвестного при решении тригонометрических уравнений

41. Применение тригонометрических формул при решении уравнений

42. Однородные уравнения

43.* Введение вспомогательного угла. Замена t = sin + cos

44. *Тригонометрические неравенства

45.* Системы уравнений

Контрольные работы (с итоговым тестом)                                                       

Ответы к контрольным работам                  

 

Материалы для подготовки к самостоятельным работам

 

1. Действительные числа

 

Напомним правило перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Для того, чтобы записать периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, надо в числителе записать разность числа до второго периода и числа до первого периода, в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде, и приписать к ним столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Пример 1. Запишем периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

а) 2,1(45);                               б) 0,00(3);                     в) 0,(7). 

Решение.

а) Обозначим x = 2,1(45) = 2,14545… , тогда 2145 — число до второго периода, 21 — число до первого периода, в периоде 2 цифры, между запятой и первым периодом 1 цифра. Поэтому по правилу имеем:

x =  =  = .

б) Обозначим x = 0,00(3) = 0,00333… , тогда по правилу имеем:

x =  =  = .

в) Обозначим x = 0,(7) = 0,777… , тогда по правилу имеем:

x =  = .

Ответ. а) ; б) ; в) . 

Пример 2. Найдем все действительные числа х, для каждого из которых справедливо равенство |x + 4| = 2. 

Решение. Модуль разности чисел x и (–4) задает расстояние между точками x и –4. Изобразим на координатной оси точку –4
(рис. 1), тогда искомое число х, такое, что |x – (– 4)| = 2, удалено от нее на 2 единицы, то есть или х = –6, или х = –2.

Рис. 1

Ответ. –6; –2.

Пример 3. Найдем все действительные числа х, для каждого из которых справедливо неравенство |2x – 3| > 5. 

Решение. Данное неравенство перепишем в виде |x – 1,5| > 2,5. Модуль разности чисел x и 1,5 задает расстояние между точками x и 1,5. Изобразим на координатной оси точку 1,5 (рис. 2), тогда искомые числа х должны быть удалены от нее на расстояние, большее, чем 2,5 единицы, то есть или х < –1, или х > 4.

Рис. 2 

Ответ. (–; –1) È (4; +).

 

2. Применение формул сокращенного умножения

 

Напомним формулы сокращенного умножения многочленов: 

(x + y)² = x² + 2xy + y²;

(x – y)² = x² – 2xy + y²;

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³;

(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³;

(x – y)(x + y) = x² – y²;

(x – y)(x² + xy + y²) = x³ – y³;

(x + y)(x² – xy + y²) = x³ + y³.

Пример 1. Вычислим значение многочлена x² + 2xy + y² при x = –59,7, y = 52,7. 

Решение. Так как x² + 2xy + y² = (x + y)², то при x = –59,7, y = 52,7

x² + 2xy + y² = (–59,7 + 52,7)² = (–7)² = 49.

Ответ. 49.

Пример 2. Из многочленов A = 3x² + 2x + 5 и В = 3x² – 3x + 5 составлено выражение P = A³ – 3A²B + 3AB² – B³. Найдем значение выражения P (х) при x = 0,2. 

Решение.P(х)=A³–3A²B+3AB²–B³=(А – В)³==(5x)³=125x³.

Если x = 0,2, то P (0,2) = 125×(0,2)³ = 125×0,008 = 1.

Ответ. 1.

 

3. Квадратное уравнение. Формулы Виета

 

аx² + bx + c = 0, а  0 — квадратное уравнение,

D = b² – 4ac — дискриминант этого уравнения.

1) Если D > 0, то корни уравнения различны: x_1,2 = ; квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители:

аx² + bx + c = а(x – x₁)(x – x₂).

2) Если D = 0, то уравнение имеет единственный корень x₀ =  (говорят еще, что корни уравнения совпадают); квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители:

аx² + bx + c = а(x – x₀)².

3) Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней, квадратный трехчлен аx² + bx + c нельзя разложить на линейные множители.

Пример 1. Решим квадратное уравнение x² + 12x – 45 = 0. 

Решение. D = 12² – 4×(–45) = 144 + 180 = 324.

x_1,2 =  = ; x₁ = –15; x₂ = 3.

Ответ. –15; 3.

 

Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x²+px+q=0 имеет два действительных (различных или совпавших) корня x₁ и x₂, то x₁ + x₂ = –p,  x₁x₂ = q.

 

Обратная теорема Виета. Если числа x₁ и x₂ таковы, что x₁+x₂=–p, x₁x₂ = q, то эти числа являются корнями уравнения x² + px + q = 0.

Формулы x₁+x₂=–p, x₁x₂=q называют формулами Виета для приведенного квадратного уравнения.

Для квадратного уравнения аx²+bx+c = 0 (а  0) формулы Виета имеют вид: x₁+x₂=–, x₁x₂ = .

Пример 2. Решим квадратное уравнение х² – 2005х + 2004 = 0. 

Решение. Заметим, что число 1 является корнем данного квадратного уравнения, так как 1² – 2005×1 + 2004 = 0. Второй корень найдем, пользуясь формулами Виета.

Так как x₁x₂ = 2004 и x₁ = 1, то x₂ = 2004.

Ответ. 1; 2004.

Пример 3. Если квадратное уравнение х² – 13х + 2 = 0 имеет корни x₁ и x₂, то, не вычисляя их, найдем значение числового выражения . 

Решение. Так как D = 13² – 4×2 > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня x₁ и x₂. Применяя формулы Виета, получим = x₁x₂× (x₁ + x₂) = 2×13 = 26.

Ответ. 26.

 

4. Алгебраические дроби

Пример 1. а) Сократим дробь ;

б) найдем значение полученной после сокращения дроби при х = 1. 

Решение. а) При х = 1 числитель и знаменатель дроби обраща­ются в нуль. Это означает, что их разложение на множители содержит множитель (х – 1).

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

x³ – 2x² – 5x + 6 = x³ – x² – x² + x – 6x + 6 = x²(х – 1) – x(х – 1) – 6(х – 1) =
= (х – 1)(x² – x – 6) = (х – 1)(х – 3)(х +2);

x³ – 6x² + 11x – 6 = x³ – x² – 5x² + 5x + 6x – 6 = x²(х – 1) – 5x(х – 1) +
+ 6(х – 1) = (х – 1)(x² – 5x + 6) = (х – 1)(х – 3)(х –2).

Теперь сократим дробь:

 =  = .

б) Если x = 1, то  = –3.

Ответ. а) ; б) –3.

Пример 2. а) Запишем выражение  в виде дроби;

б) найдем значение полученной дроби при x = 0. 

Решение. Представим каждую из данных дробей в виде разности и упростим полученную сумму:

 =  =

=  =  = .

б) Если x = 0, то  = –1,5

Ответ. а) ; б) –1,5.

 

5. Рациональные уравнения

 

Пример 1. Решим уравнение . 

Решение. Найдем значения х, при которых числитель дроби равен нулю:

x² – 4 = 0,

x₁ = 2; x₂ = –2.

При x₁ = 2 знаменатель дроби обращается в нуль: 2³ – 2² – 4 = 0, а при x₂ = –2  нет, следовательно, –2 — единственный корень данного уравнения.

Ответ. –2.

Пример 2. Решим уравнение . 

Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и после приведения дробей к общему знаменателю перепишем уравнение в виде:

                                               .                                                      (1)

Найдем значения х, при которых числитель дроби в уравнении (1) равен нулю:

x² + x – 6 = 0,

x₁ = –3; x₂ = 2.

При x₁ = –3 знаменатель (x + 3)(x – 5) дроби в уравнении обращается в нуль, а при x₂ = 2 — нет, следовательно, 2 — единствен­ный корень данного уравнения.

Ответ. 2.

 

6.* Замена неизвестного при решении рациональных уравнений

 

Пример 1. Решим уравнение  (13x + 29)²  – 19(13x + 29) + 48 = 0.                                          (1) 

Решение. Обозначив t = 13x + 29, перепишем уравнение (1) в виде t ² – 19t + 48 = 0.         (2)

Уравнение (2) имеет два корня t₁ = 3 и t₂ = 16, поэтому все корни уравнения (1) являются корнями двух уравнений:

                                 1)  13x + 29 = 3            и       2) 13x + 29 = 16;

                                        13x = –26;                            13x = –13;

                                        x₁ = –2;                                x₂ = –1.

Ответ. –2; –1.

Пример 2. Решим уравнение  (x² + 6x)² + 2(x + 3)² = 81.                                    (3) 

Решение. Перепишем уравнение (3) в виде:  (x² + 6x)² + 2(x² + 6x) – 63 = 0. (4)

Обозначив t = x² + 6x, перепишем уравнение (4) в виде  t ² + 2t – 63 = 0.       (5)

Уравнение (5) имеет два корня t₁ = –9 и t₂ = 7, поэтому все корни уравнения (3) являются с корнями двух уравнений:

                                 1) x² + 6x = –9              и       2) x² + 6x = 7;

                                      x² + 6x + 9 = 0;                      x² + 6x – 7 = 0;

                                      x₁ = –3;                                   x₂ = 1; x₃ = –7.

Ответ. –7; –3; 1.

Пример 3. Решим уравнение    = 0.                                    (6) 

Решение. Обозначив t = , перепишем уравнение (6) в виде: t +  + 4 = 0.      (7)

 

 

Уравнение (7) имеет единственный корень t₀ = –2, поэтому все корни уравнения (6) являются корнями уравнения       = –2, которое имеет два корня x₁ = – и x₂ = 2. Следовательно, и уравнение (6) имеет только два корня x₁ и x₂.

Ответ. –; 2.

 

7.* Доказательство числовых неравенств

 

Пример 1. Докажем, что для любого действительного числа х справедливо неравенство х⁴ – 4х² + 5 > 0. 

Доказательство. Выделим полный квадрат:  х⁴ – 4х² + 5 = х⁴ – 4х² + 4 + 1 = (х² – 2)² + 1.

Так как (х² – 2)²  0 для любого действительного числа х, а 1 > 0, то (х² – 2)² +1>0, то есть х⁴ – 4х² + 5 > 0, что и т. д.

Пример 2. Докажем, что для любого действительного числа х справедливо неравенство . 

Доказательство. Прибавив к обеим частям неравенства число 7, получим неравенство:

                                      .                                          (1)

Для доказательства исходного неравенства достаточно доказать справедливость неравенства (1). Так как дискриминант квадратного трехчлена А = х² – 5х + 7 отрицательный и коэффициент при х² положительный, то А > 0 для любого действительного числа  х. Но для любого положительного А справедливо неравенство , поэтому справедливо неравенство (1), что и т. д.

Пример 3. Докажем справедливость неравенства .

Доказательство. Обозначим:

А = ; В = .

Так как , то А < В. Так как А > 0, то А² < АВ. Так как АВ =  =  = , то А² < . Откуда, учитывая, что А > 0, получаем, что А < , что и т. д.

 

8*. Метод математической индукции

 

Пример 1. Докажем методом математической индукции, что
3 ^2n – 1 + 5 ^n + 1 делится на 4 для любого натурального числа n. 

Доказательство. Обозначим А (n) = 3 ^2n – 1 + 5 ^n + 1.

1) А (1) = 3 + 25 = 28 — делится на 4.

2) Предположим, что А (k) = 3 ^2k – 1 + 5 ^k + 1 делится на 4 и докажем, что А (k + 1) делится на 4.

А (k + 1) = 3 ^2k + 1 + 5 ^k + 2 = 3 ^{2k – 1+ 2} + 5 ^{k + 1 + 1} = 9×3 ^2k – 1 + 5×5 ^k + 1 =
= 4×3 ^2k – 1 + 5×А (k).

Так как по нашему предположению А (k) делится на 4, то 5×А (k) делится на 4. Слагаемое 4×3 ^2k – 1 тоже делится на 4, поэтому и сумма, равная А (k + 1), делится на 4. Согласно принципу полной индукции это означает, что выражение А (n) делится на 4 для любого натурального числа n, что и т. д.

Пример 2. Докажем методом математической индукции, что для любого натурального числа n справедливо равенство

. 

Доказательство. Обозначим А (n) = ; В (n) = .

1) Равенство А (1) = В (1) верно, так как  = .

2) А (k + 1) – А (k) =  –

–  = .

В (k + 1) – В (k) =  =

= .

Следовательно, А (k + 1) – А (k) = В (k + 1) – В (k), поэтому верно равенство:

                            А (k + 1) – В (k + 1) = А (k) – В (k).                                               (1)

3) Предположим, что А (k) = В (k), тогда из справедливости равенства (1) следует, что справедливо равенство А (k + 1) = В (k + 1). Согласно принципу полной индукции это означает, что равенство А (n)=В (n) верно для любого натурального числа n, что и т. д.

 

9. Перестановки, размещения, сочетания

 

Пример 1. Сколько мелодий можно сыграть из четырех различных нот?

Решение. Число способов равно Р₄ = 4×3×2×1 = 24. В самом деле. Первую ноту можно выбрать из четырех нот четырьмя способами, вторую из оставшихся трех — тремя способами, третью ноту можно выбрать из двух двумя способами, четвертую ноту можно выбрать из одной одним способом, а все четыре — 4×3×2×1.

То есть из четырех различных нот можно сыграть 24 мелодии.

Ответ. 24.

Пример 2. Сколько мелодий можно сыграть из четырех нот, выбранных без повторения из семи заданных различных нот?

Решение. Число способов равно А = 7×6×5×4 = 840. В самом деле. Первую ноту можно выбрать из семи семью способами, вторую из оставшихся шести шестью способами, третью ноту можно выбрать из оставшихся пяти пятью способами, четвертую ноту можно выбрать из оставшихся четырех четырьмя способами, а все четыре — 7×6×5×4 способами.

Ответ. 840.

Пример 3. Сколько можно сыграть аккордов из четырех нот, выбранных из семи заданных различных нот?

Решение. Число способов равно С =  = 35. В самом деле. Используя четыре различные ноты сыграть А мелодий. Так как в аккорде четыре выбранные ноты звучат одновременно, то искомое число аккордов меньше числа мелодий в Р₄ раз. Тогда искомое число аккордов равно  — это и есть число С.

Ответ. 35.

Пример 4. Сколькими способами можно из четырех офицеров и шести солдат составить два патруля из двух офицеров и трех солдат?

Решение. Для решения задачи достаточно определить число способов составления одного патруля, так как оставшиеся офицеры и солдаты составят второй патруль. Искомое число способов равно произведению числа способов выбрать двух офицеров из четырех (С) и числа способов выбрать трех солдат из шести (С) (оба раза берем число сочетаний, а не число размещений, так как порядок в выбранной группе офицеров или солдат не играет роли). Искомое число способов равно С×С =  = 120.

Ответ. 120.

 

10. Формула бинома Ньютона

Пример 1. Найдем коэффициент при а ⁷ в разложении выражения  по формуле бинома Ньютона. 

Решение. Так как = Са¹³ + С+
+ С+ С+… = Са¹³ – Са¹¹ + Са⁹ – Са⁷ +…, то искомый коэффициент есть – С = –  = –286.

Ответ. –286.

Пример 2. Найдем сумму коэффициентов

С + С + С + С + … + С. 

Решение. Рассмотрим разложение степени двучлена по формуле бинома Ньютона:  = Са¹³ + Са¹²х¹ + Са¹¹х² + … + Сх¹³.

Подставив в полученное равенство а = 1, х = 1, получим искомую сумму: С + С + С + … + С =   = 2¹³ = 8192.

Ответ. 8192.

 

11.* Деление многочленов. Корень многочлена

 

Пример 1. Решим уравнение

                                      9х⁴ – 3х³ + 4х² + 5х + 1 = 0.                                                      (1)

Решение. У многочлена P₄ (х) = 9х⁴ – 3х³ + 4х² + 5х + 1 коэффици­ент а₄ = 9, а свободный член 1. Если уравнение (1) имеет корень —рациональное число , то этот корень надо искать среди чисел

1, –1,  , – ,  , –.

Вычислим

P₄ (1) = 9 – 3 + 4 + 5 + 1 = 16  0;                   P₄ (–1) = 9 + 3 + 4 – 5 + 1 = 12  0;

P₄  =  –  +  +   + 1  0;               P₄  =  +  +  –   + 1 = 0.

То есть многочлен P₄ (х) имеет корень – , поэтому P₄ (х) делится на двучлен  , т. е. P₄ (х) = P₃ (х)×.

Применяя схему Горнера, найдем коэффициенты многочлена P₃ (х).

	9	–3	4	5	1
–	9	–6	6	3	0

Итак, P₃ (х) = 9х³ – 6х² + 6х + 3, следовательно, его рациональные корни надо искать среди чисел 1, –1,  , –. Ясно, что числа 1, –1,   не могут быть корнями многочлена P₃ (х). Проверим число –.

Так как P₃  = – –  – 2 + 3 = 0, то многочлен P₃ (х) имеет корень –. Поэтому многочлен P₃ (х) делится на двучлен  , т. е. P₃ (х) = P₂ (х)×. Найдем многочлен P₂ (х), разделив многочлен P₃ (х) на двучлен   уголком (рис. 3).

Рис. 3

Итак, P₂ (х) = 9х² – 9х + 9 = 9(х² – х + 1), тогда

P₄ (х) = 9×(х² – х + 1).

Так как дискриминант многочлена P₂ (х) отрицательный, то этот многочлен не имеет действительных корней и уравнение (1) имеет два совпавших действительных корня х₁ = х₂ = –.

Ответ. – . 

 

12. Рациональные неравенства

 

Пример 1. Решим неравенство         .      (1)

Решение. Перенеся все члены неравенства в одну сторону и сложив дроби, получим неравенство

. Сначала решим уравнение .                                  (2)

Уравнение (2) имеет два корня х₁ = –1 и х₂ = 3. Теперь решим неравенство

                                               .                                                          (3)

Применив к неравенству (3) метод интервалов (рис. 4), получим, что множество всех его решений есть множество .

Рис. 4

Объединив множество всех решений уравнения (2) и неравенства (3), получим множество всех решений неравенства (1): .

Ответ. .

 

13.* Замена неизвестного при решении рациональных неравенств

 

Пример 1. Решим неравенство  

                                 (х ² + 4х) ²– 2(х + 2) ² – 7  0.                                                   (1)

Решение. Обозначив t = х ² + 4х, перепишем неравенство (1) в виде:

                                 t ² – 2(t + 4) – 7  0.                                                                  (2)

Все решения неравенства (2) есть и все t  –3, и все t  5. Следовательно, все решения неравенства (1) есть объединение всех решений двух неравенств

1) х² + 4х  –3   и   2) х ² + 4х  5.

Неравенство 1) имеет множество решений [–3; –1], а неравенство 2) имеет множество решений (–; –5] È [1; +). Следовательно, неравенство (1) имеет множество решений (–; –5] È [–3; –1] È [1; +).

Ответ. (–; –5] È [–3; –1] È [1; +).

Пример 2. Решим неравенство  

                                 2х ² + х – 4 +  0.                                                       (3)

Решение. Обозначив t = 2х² + х, перепишем неравенство (3) в виде:

                                 t ² – 4 +  0.                                                                           (4)

Все решения неравенства (4) есть и все t < 0, и все t такие, что
1  t   3, следовательно, множество решений неравенства (3) есть объединение решений неравенства

                            1) 2х² + х < 0   и   системы 2) 

Неравенство 1) имеет множество решений , а система 2) имеет множество решений  È . Следовательно, неравенство (3) имеет множество решений  È  È .

Ответ.  È  È .

 

14.* Замена неизвестного при решении иррациональных уравнений и неравенств

 

Пример 1. Решим уравнение            .   (1)

Решение. Обозначив t=, перепишем уравнение (1) в виде:2t²+t–10=0.           (2)

Уравнение (2) имеет корни t₁ = –; t₂ = 2. Следовательно, все корни уравнения (1) являются корнями двух уравнений     1)    = –   и   2)  = 2.

Функция   определена лишь при х  1, на множестве [1; +) она неотрицательна, поэтому уравнение 1) не имеет корней. Так как эта функция на множестве [1; +) возрастает, то уравнение 2) имеет не более одного корня. Легко видеть, что число х₁ = 5 является корнем уравнения 2), следовательно, уравнение 2) имеет единственный корень 5. Поэтому уравнение (1) также имеет единственный корень 5.

Ответ. 5.

 

 

Пример 2. Решим уравнение            .        (3)

Решение. Обозначив t=,перепишем уравнение (3) в виде:.       (4)

Уравнение (4) имеет два корня t₁ = –2 и t₂ = 3. Следовательно, все корни уравнения (3) являются корнями двух уравнений 1)    = –2;   и   2)    = 3.

Функция   определена лишь при х  0, на множестве [0; +) она неотрицательна, поэтому уравнение 1) не имеет корней. Так как эта функция на множестве [0; +) возрастает, то уравнение 2) имеет не более одного корня. Легко видеть, что число х₁ = 9 является единственным корнем уравнения 2).

Поэтому уравнение (4) также имеет единственный корень 9.

Ответ. 9.

Пример 3. Решим неравенство  > 2x – 5.          (5)

Решение. Обозначив t=,перепишем неравенство (5) в виде:t ²–t–2<0. (6)

Все решения неравенства (6) есть все t такие, что –1 < t < 2. Следовательно, все решения неравенства (5) являются решениями системы

Функция  определена лишь при u  0, и для этих u она неотри­цательна, поэтому первое неравенство системы справедливо для любого х, удовлетворяющего неравенству 2х – 3  0, то есть для х  1,5, а так как функция  возрастает для u  0, то неравенство  <  справедливо тогда и только тогда, когда 0  u < 4, поэтому второе неравенство системы справедливо для любого х, удовлетворяющего двойному неравенству 0  2х – 3 < 4. Решения этого двойного неравенства есть промежуток [1,5; 3,5), но тогда множество решений системы: [1,5; 3,5).

Следовательно, неравенство (5) имеет то же множество решений.

Ответ. [1,5; 3,5).

Пример 4. Решим неравенство . (7)

Решение. Обозначив t=,перепишем неравенство (7) в виде: t ²–t–20.       (8)

Все решения неравенства (8) есть и все t  –1, и все t  2. Следовательно, все решения неравенства (7) есть объединение всех решений двух неравенств

                            1)   –1    и    2)   2.

Неравенство 1) не имеет решений, так как при всех х, при которых функция  определена, справедливо неравенство   0.

Так как функция  определена лишь при u  0, и для этих х она возрастает, то неравенство    справедливо тогда и только тогда, когда u  4, поэтому неравенство 2) равносильно неравенству   4, которое имеет множество решений [–3; –2).

Следовательно, неравенство (4) имеет множество решений [–3; –2).

Ответ. [–3; –2).

 

15.* Задачи с параметром

 

Пример 1. Найдем все значения а, при каждом из которых уравнение х² + ах + 9 = 0 имеет два различных корня, меньших –1.

Решение. Так как уравнение должно иметь два различных корня, то должно выполняться неравенство D = а² – 36 > 0. Так как коэффи­циент при х² больше нуля, то, чтобы оба корня были меньше –1, должны выполняться два условия: абсцисса х₀ = – вершины параболы — графика функции f (x) = х² + ах + 9 (рис. 5) — должна быть меньше –1 и значение функции в точке –1 должно быть положительным:

f (–1) = 1 – а + 9 = –а + 10 > 0.

При нарушении хотя бы одного из этих условий уравнение или не имеет корней, или они совпадают, или найдется корень уравнения, не меньший –1.

 Рис. 5

Следовательно, число а удовлетворяет условиям задачи тогда и только тогда, когда а удовлетворяет системе неравенств:

Решив эту систему, получим, что искомые значения а удовлетво­ряют двойному неравенству 6 < a < 10.

Ответ. (6; 10).

Пример 2. Найдем все значения а, при каждом из которых система неравенств

имеет единственное решение.

Решение. Корни квадратного трехчлена, находящегося в левой части первого неравенства системы: х₁ = а, х₂ = а + 4. Так как при любых значениях а число х₁ меньше, чем число х₂, то все решения первого неравенства системы составляют множество (–; а] È [а + 4; +).

Второе неравенство системы равносильно неравенству , все решения которого составляют отрезок . Так как длина  отрезка   меньше длины 4 отрезка
[a; a + 4], то исходная система имеет единственное решение только в двух случаях: или равны числа а и a –  (рис. 6, а), или равны числа
а + 4 и a +  (рис. 6, б).

Рис. 6

Искомые значения а найдем, решив два уравнения:

а = a –   и  а + 4 = a + .

Итак, и при а = –4, и при a = –8 система имеет единственное решение.

Ответ. –4; –8.

 

16. Корень степени n

Пример 1. Вынесем множитель из-под знака корня  при условии, что x < 0.

Решение. Преобразуем выражение ==2|x||y|. Так x < 0 по условию задачи, а y  0 (в противном случае корень не имеет смысла), то |x| = –х, |y| = y, поэтому 2|x||y|= –2xy.

Ответ. –2xy.

Пример 2. Внесем множитель под знак корня 3x³y при условии, что y < 0.

Решение. Так y < 0 по условию задачи, а x  0 (в противном случае корень не имеет смысла), то

3x³y====.

Ответ. .

Пример 3. Упростим выражение .

Решение. Преобразуем знаменатель дроби = — это неполный квадрат суммы чисел 2 и . Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, умножим ее числитель и знаменатель на разность этих чисел 2 – :   =  =  = 2. 

Ответ. 2.

 

17.* Функция y =   

 

Пример 1. Сравним числа  и .

Решение. Преобразуем данные корни с помощью свойств корня степени n:

 =  = ,  =  = .

Так как функция у =  определена и возрастает на множестве
[0; +) и для чисел 6561 и 5832 из этого множества справедливо нера­венство 6561 > 5832, то справедливо и неравенство  > . Это означает, что  > .

Ответ.   > .

Пример 2. Сравним числа  –  и  – .

Решение. На множестве всех х  0 функция у =  определена и возрастает, а функция у = – определена и убывает, поэтому из справедливости неравенств 2005 > 2004 и 2007 < 2008 следует справедливость неравенств

                                  >  и – > –.                              (1)

Сложив почленно верные числовые неравенства (1), получим верное числовое неравенство  –  >  – .

Ответ.  –  >  – .

Пример 3. Докажем, что функция у =  является убывающей.

Доказательство. Функция у =  определена для всех х  R. Пусть х₁  R, х₂  R и х₁ < х₂, тогда t₁ = t (х₁) = 5 – 3х₁, t₂ = t (х₂) = 5 – 3х₂. Из убывания линейной функции t (х) = 5 – 3х следует справедливость неравенства t₁ > t₂, а из возрастания функции у =  следует справедливость неравенства  > , то есть справедливость неравенства >. А это означает, что функция у= является убывающей, что и т. д.

Пример 4. Решим уравнение             +  = .         (2)

Решение. Все корни этого уравнения принадлежат множеству [0; +). На множестве [0; +) функция f (x)=+ возрастает, а функция g(x)= — убывает, поэтому если найдется значение х₀[0; +) такое, что f (x₀) = g (x₀), то такое число единственное, так как для всех х > х₀ справедливы неравенства           f (x) > f (x₀) = g (x₀) > g (x), а для всех 0  х < х₀ справедливы неравенства                    f (x) < f (x₀) = g (x₀) < g (x).

Так как f (0) = g (0), то х₀ = 0 — единственный корень уравнения (2).

Ответ. 0.

 

18. Степень с рациональным показателем

Пример 1. Вычислим А = .

Решение. Применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности, имеем

 ;

 .

Применяя формулу разности квадратов, получаем

А = .

Ответ. 1.

Пример 2. Вычислим В = .

Решение. 1) Так как b – 27 = , то  .

2)  ;

3) В = .

Ответ. 1.

 

 

 

 

 

19.* Предел последовательности

 

Пример 1. Пусть переменная у_n неотрицательна для любого натурального n и имеет пределом некоторое положительное число. Докажем, пользуясь теоремами о пределах, что

                                               .                                                   (1)

Доказательство. Рассмотрим последовательность х_n = . По теореме о пределе произведения имеем: .Так как  и  неотрицательны, то справедливы равенства = = , а это означает, что , то есть справедливо равенство (1), что и т.д.

Пример 2. Вычислим          .

Решение. Преобразуем выражение:  =

=  =

=  =  =.

Так как  = 4, а по теореме о пределе суммы и по доказанному выше свойству (пример1)

 =+=4+4, то

 =  = .

Ответ. .

Пример 3. Докажем, что переменная х_n = 5 – n² является бесконечно большой, пользуясь определением бесконечно большой (на языке «M – N»).

Доказательство. Пусть дано положительное достаточно большое число М. Тогда неравенство |5 – n²| > M                                               (2)

выполнено, если n² – 5 > M, то есть если n > .

Выберем число N = , тогда для любого n > N выполнено неравенство (2), а это означает, что переменная х_n = 5 – n² является бесконечно большой, что и требовалось доказать.

Пример 4. Докажем, что переменная х_n =  является бесконечно малой, пользуясь определением бесконечно малой (на языке «e – N»).

Доказательство. Пусть дано положительное достаточно малое число e. Тогда неравенство  < e                                               (3)

выполнено, если 5n – 6 > , то есть если n > .

Выберем число N = , тогда для любого n > N выполнено неравенство (3), а это означает, что переменная х_n =  является бесконечно малой, что и требовалось доказать.

 

20. Логарифмы

 

Пример 1. Докажем свойство логарифмов: .

Решение. Отметим, что по определению логарифма в доказы­ваемом равенстве а > 0, b > 0, b  1, с > 0. Если a = 1, или c = 1, или
a = c = 1, то доказываемое равенство очевидно справедливо.

Пусть a > 0, a  1, с > 0, c  1, тогда справедливы равенства

, что и т. д.

Пример 2. Вычислим значение выражения

A = .

Решение. Так как 3 +  > 0, то  Так как  – 2 < 0 и 16 = 2⁴, то

Тогда A = .

Ответ. –1.

Пример 3. Сравним числа:

а) log ₃ 5 и log ₄ 3;                                       б) log _0,3 5 и log _0,3 6;

в) log ₃ 5 и log ₄ 5;                                      г) log ₃ 5 и log ₄ 6.

Решение. а) Так как log ₃ 5 > 1, а log ₄ 3 < 1, то log ₃ 5 > log ₄ 3.

б) Так как функция у = log _0,3 t убывает на множестве (0; +), то из справедливости неравенства 5 < 6 следует справедливость  неравен­ства log _0,3 5 > log _0,3 6.

в) Преобразуем каждый из логарифмов: log ₃ 5 =  и log ₄ 5 =
= . Так как log ₅ 3 < log ₅ 4 и обе дроби положительные, то  >
> . Следовательно, справедливо неравенство log ₃ 5 > и log ₄ 5.

г) Рассмотрим 3×log ₃ 5 = log ₃ 125 и 3×log ₄ 6 = log ₄ 216. Так как
3⁴ < 125 < 3⁵ и 4³ < 216 < 4⁴, то справедливы двойные неравенства

                            4 < log ₃ 125 < 5, 3 < log ₄ 216 < 4.                                                      (1)

Из неравенств (1) следует, что log ₃ 125 > log ₄ 216. Но log ₃ 125 =
= 3×log ₃ 5, а log ₄ 216 = 3×log ₃ 6, поэтому из справедливости неравенства log ₃ 125 > log ₄ 216 следует справедливость неравенства log ₃ 5 > log ₄ 6.

Ответ. а) log ₃ 5 > log ₄ 3; б) log _0,3 5 > log _0,3 6; в) log ₃ 5 > log ₄ 5;

г) log ₃ 5 > log ₄ 6.

Пример 4. Докажем иррациональность числа log ₂ 5.

Доказательство. Предположим, что число log ₂ 5 — число рациональное, то есть пусть log ₂ 5 = , где p и q — натуральные числа, не имеющие общего делителя. Тогда по определению логарифма справедливо равенство  = 5. Возведя это равенство в степень q, получим верное равенство 2 ^p = 5 ^q. Но последнее равенство невозможно ни для каких натуральных чисел p и q. Следовательно, log ₂ 5 — число иррациональное, что и т д.

 

 

 

 

 

21. Показательные и логарифмические уравнения

 

Пример 1. Решим уравнение

                                           2 ^{3х – 2} = 0,5.                                                                       (1)

Решение. Обозначив t = 3х – 2, перепишем уравнение (1) в виде

                                           2^t = 2 ^–1.                                                                             (2)

Уравнение (2) имеет единственный корень t₁ = –1, следовательно, все корни уравнения (1) являются корнями уравнения

                                           3х – 2 = –1.                                                                       (3)

Так как уравнение (3) имеет единственный корень х₁ = , то уравнение (1) тоже имеет единственный корень х₁ =.

Ответ. .

Пример 2. Решим уравнение

                                            = –2.                                                          (4)

Решение. Обозначив t = 7х – 5, перепишем уравнение (4) в виде

                                            = –2.                                                                      (5)

Уравнение (5) имеет единственный корень t₁ =  = 16, следо­вательно, все корни уравнения (4) являются корнями уравнения

                                           7х – 5 = 16.                                                                       (6)

Так как уравнение (6) имеет единственный корень х₁ = 3, то уравнение (4) тоже имеет единственный корень х₁ = 3.

Ответ. 3.

Пример 3. Решим уравнение

                                      2 ^{2х – 5} – 3×2 ^{х – 3} + 1 = 0.                                                          (7)

Решение. Обозначив t = 2 ^х – 3, перепишем уравнение (7) в виде

                                      2 t ² – 3t + 1 = 0.                                                                    (8)

Уравнение (8) имеет корни t₁ = 1 и t₂ = , следовательно, все корни уравнения (7) являются корнями двух уравнений

                                      1) 2 ^{х – 3} = 1          и       2) 2 ^{х – 3} = .

Так как уравнение 1) имеет единственный корень х₁ = 3, а уравнение 2) имеет единственный корень х₂ = 2, то уравнение (7) имеет два корня 2 и 3.

Ответ. 2; 3.

Пример 4. Решим уравнение

                                      .                           (9)

Решение. Обозначив t = log ₂ (3x – 5), перепишем уравнение (9) в виде

                                           .                                                              (10)

Уравнение (10) имеет два корня t₁ = 1 и t₂ = 3, следовательно, все корни уравнения (9) являются корнями двух уравнений

1) log ₂ (3x – 5) = 1  и  2) log ₂ (3x – 5) = 3.

Так как уравнение 1) имеет единственный корень х₁ = , а уравнение 2) имеет единственный корень х₂ = , то уравнение (9) имеет два корня  и .

Ответ. ; .

 

22. Показательные и логарифмические неравенства

 

Пример 1. Решим неравенство

                                           (0,5) ^{5х + 3} > 4.                                                                    (1)

Решение. Обозначив t = 5х + 3, перепишем неравенство (1) в виде

                                           (0,5)^t > (0,5) ^–2.                                                                  (2)

Неравенство (2) равносильно неравенству t < –2, следовательно, все решения неравенства (1) совпадают с решениями неравенства

                                           5х + 3 < –2.                                                                      (3)

Так как множество всех решений неравенства (3) есть все
х  (–; –1), то и неравенство (1) имеет те же решения.

Ответ. (–; –1).

Пример 2. Решим неравенство

                                             2.                                                             (4)

Решение. Обозначив t = 2х – 1, перепишем неравенство (4) в виде

                                             2.                                                                       (5)

Неравенство (5) равносильно двойному неравенству 0 < t  9, следовательно, все решения неравенства (4) совпадают с решениями двойного неравенства

                                           0 < 2х – 1  9.                                                                 (6)

Так как множество всех решений неравенства (6) есть все
х  (0,5; 5], то и неравенство (4) имеет те же решения.

Ответ. (0,5; 5].

Пример 3. Решим неравенство

                                       + 2  0.                                               (7)

Решение. Обозначив t = log _0,2 x, перепишем неравенство (7) в виде

                                      t ² – 3t + 2  0.                                                                      (8)

Все решения неравенства (8) есть и все t  1, и все t  2, следовательно, все решения неравенства (7) совпадают со всеми решениями двух неравенств

1) log _0,2 x  1  и  2) log _0,2 x  2.

Так как множество всех решений неравенства 1) есть промежуток
[0,2; +), а множество всех решений неравенства 2) есть промежуток (0; 0,04], то все решения неравенства (7) составляют множество
(0; 0,04]  [0,2; +).

Ответ. (0; 0,04]  [0,2; +).

Пример 4. Решим неравенство

                                      .                                 (9)

Решение. Так как , то, обозначив t = , перепишем неравенство (9) в виде:

                                      t ² – 6 t + 1 < 0.                                                                     (10)

Множество всех решений неравенства (10) есть все t такие, что  < t < , следовательно, все решения неравенства (9) совпадают с решениями двойного неравенства

                                       <  < .                                    (11)

Так как  =  и 0 <  < 1, то неравенство (11) равносильно неравенству –1 < х < 1.

Это означает, что множество решений неравенства (9) есть интервал (–1; 1).

Ответ. (–1; 1).

 

23.* «Однородные» показательные уравнения и неравенства

 

Пример 1. Решим уравнение

                                      25×3^х – 9×5 ^х = 0.                                                                     (1)

Решение. Так как 5^х  0 для любых действительных х, то, вынося множитель 5^х за скобки, перепишем уравнение (1) в виде:

                                      5^х  = 0.                                                         (2)

Так как 5^х  0 для любых действительных х, то все корни уравне­ния (2), а значит и уравнения (1), совпадают с корнями уравнения

                                       = 0,                                                                 (3)

которое можно переписать в виде

                                      .                                                                       (4)

Уравнение (4) единственный корень 2, следовательно, уравнение (1) также имеет единственный корень 1.

Ответ. 2.

Замечания 1. Если обозначить 3^х = u, 5^х = v, то уравнение (1) можно записать в виде 25u – 9v = 0. Такое уравнение является однородным уравнением первой степени относительно пары (u; v).

2. При решении уравнений типа (1) часто не делают проведенных выше выкладок, а просто пишут: так как 5^х  0 для любого действи­тельного х, то, разделив уравнение (1) на 5^х, получим уравнение (3), имеющее те же корни, что и уравнение (1), и далее решают уравнение (3) как показано выше.

Пример 2. Решим уравнение

                                      4 ^{х + 1} – 11×4 ^{х – 1} = 5 ^х.                                                             (5)

Решение. Перепишем уравнение (5) в виде

                                      16× 4 ^х – 11× 4 ^х = 4×5 ^х,

                                      5× 4 ^х – 4×5 ^х = 0.                                                                     (6)

Так как 5^х  0 для любого действительного х, то, разделив уравнение (6) на 5^х, получим уравнение

                                       = 0,                                                                   (7)

имеющее те же корни, что и уравнение (5).

Уравнение (7) единственный корень 1, следовательно, уравнение (5) также имеет единственный корень 1.

Ответ. 1.

Пример 3. Решим неравенство 

                                      6×9 ^х – 13×6 ^х + 6×4 ^х > 0.                                                          (8)

Решение. Так как 4 ^х > 0 для любых действительных х, то, вынеся множитель 4 ^х за скобки, перепишем неравенство (8) в виде:

                                       > 0.                                  (9)

Так как 4^х > 0 для любых действительных х, то все решения неравенства (9) совпадают с решениями неравенства

                                       > 0.                                             (10)

Обозначив t = , перепишем неравенство (10) в виде

                                      6×t ² – 13×t + 6 > 0.                                                                 (11)

Множество всех решений неравенства (11) есть и все t < , и все
t > , поэтому множество всех решений неравенства (8) есть объеди­нение множеств решений двух неравенств

                                      1)  <    и   2)  > .

Множество всех решений неравенства 1) есть интервал (–; –1), множество всех решений неравенства 2) есть интервал (1; +), поэтому все решения неравенства (8) составляют множество
(–; –1)  (1; +).

Ответ. (–; –1)  (1; +).

Замечания 1. Если обозначить 3^х = u, 2^х = v, то неравенство (8) можно записать в виде 6u² – 13uv + 6v² > 0. Такое неравенство является однородным неравенством второй степени относительно пары (u; v).

2. При решении уравнений типа (8) часто не делают проведенных выше выкладок, а просто пишут: так как 2^х > 0 для любого действи­тельного х, то, разделив неравенство (3) на 2^х, получим неравенство (10), имеющее те же решения, что и неравенство (8), и далее решают неравенство (10) как показано выше.

 

24. Градусная и радианная меры угла

 

Пример 1. Выразим величину угла  в радианах, если  = 150⁰;
 = 210⁰.

Решение. Так как развернутый угол содержит 180⁰ или  радиан, то 1⁰ =  радиан. Поэтому 150⁰ =  =  радиан, а 210⁰ =
=  =  радиан.

Пример 2. Выразим величину угла  в градусах, если  =  ,
 =  .

Решение. Так как развернутый угол содержит  радиан или 180⁰, то 1 радиан = . Поэтому  радиан =  = 240⁰; а
 радиан =  = 315⁰.

25. Запись углов, заданных на единичной окружности

 

Пример 1. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам  и , заключенным в промежутке от 0⁰ до 360⁰ (рис. 7, а). Выразим  и  в градусах.

 

Рис. 7

Решение. Так как углы  и  заключены в промежутке от 0⁰ до 360⁰, то на рисунке 7, а) изображены углы  = 180⁰ и  = 270⁰.

Ответ.  = 180⁰;  = 270⁰.

2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам  и , заключенным в промежутке от 0 до 2 радиан (рис. 7, б). Выразим  и  в радианах.

Решение. Так как углы  и  заключены в промежутке от 0 до 2 радиан, то на рисунке 7, б) изображены углы  =  и  = .

Ответ.  = ;  = .

3. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам  и  (рис. 7, в). Запишите все такие углы  и , используя градусную меру.

Решение. На рисунках 8, а) и 8, б) изображены углы  и  в промежутке 0⁰ до 180⁰, то есть  = 30⁰,  = 150⁰. Любой другой угол  отличается от угла  на 360⁰×n, n  Z, поэтому все такие углы  запишем так:  = 30⁰ + 360⁰×n, n  Z. Аналогично все такие углы  запишем так:  = 150⁰ + 360⁰×n, n  Z.

Ответ.  = 30⁰ + 360⁰×n, n  Z;  = 150⁰ + 360⁰×n, n  Z.

4. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам  и  (рис. 7, г). Запишите все такие углы  и , используя радианную меру.

Решение. На рисунках 9, а) и 9, б) изображены углы  и  в промежутке 0 до  радиан, то есть  =  радиан,  =  радиан. Любой другой угол  отличается от угла  на 2n, n  Z, поэтому все такие углы  запишем так:  =  + 2n, n  Z. Аналогично все такие углы  запишем так:  =  + 2n, n  Z.

 

                            Рис. 8                                                                      Рис. 9

Ответ.  =  + 2n, n  Z;  =  + 2n, n  Z.

 

26  Синус и косинус угла

 

Пример1. Определим синус и косинус острого угла  прямоуголь­ного треугольника (рис. 10).

Рис. 10                                                                           Рис. 11

Решение. Из курса геометрии известно, что синус острого угла прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому sin  = ; cos  = .

Ответ. sin  = ; cos  = .

Пример 2. На единичной окружности отмечены точки, соответ­ствующие углам , ,  и  (рис. 11). Определим значения синуса и косинуса этих углов.

Решение. Так как по определению значения синуса и косинуса угла есть соответственно ордината и абсцисса точки единичной окружности, соответствующей этому углу, поэтому sin  = 0, cos  = –1; sin  = , cos  = ; sin  = , cos  = –; sin  = –, cos  = .

Ответ. sin  = 0, cos  = –1; sin  = , cos  = ; sin  = , cos  = –; sin  = –, cos  = .

Пример 3. Изобразим на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам , для каждого из которых справедливо равенство:  

а) sin  = 0;                    б) sin  = –;           в) cos  = 0;              г) cos  = –.

Запишем все такие углы .  

Решение. а) Всем углам , для которых sin  = 0, соответствуют две точки единичной окружности (рис. 12, а). Все такие углы составляют две серии углов:  и . Углы  и  можно объединить в одну серию: .

Рис. 12

б) Всем углам , для которых sin  = –, соответствуют две точки единичной окружности (рис. 12, б). Все такие углы составляют две серии углов:  и . Углы  и  можно объединить в одну серию: .

в) Всем углам , для которых cos  = 0, соответствуют две точки единичной окружности (рис. 12, в). Все такие углы составляют две серии углов:  и . Углы  и  можно объединить в одну серию: .

г) Всем углам , для которых cos  = –, соответствуют две точки единичной окружности (рис. 12, г). Все такие углы составляют две серии углов:  и . Углы  и  можно объединить в одну серию: .

 

27. Формулы для sin  и cos  

Приведем основные формулы для синусов и косинусов углов:

                                       sin² + cos² = 1,                                                               (1) 

                                       sin (–) = –sin ,                                                                 (2) 

                                       cos (–) = cos ,                                                                (3) 

                                       sin ( + 2k) = sin , k  Z,                                             (4) 

                                       cos ( + 2k) = cos , k  Z,                                           (5) 

                                       sin ( + ) = –sin ,                                                           (6) 

                                       cos ( + ) = –cos .                                                         (7) 

Пример 1. Вычислим cos , если sin  = , .

Решение. По формуле (1) cos² = 1 – sin² = 1 –  = . Так как , то cos  < 0, следовательно, cos  = – = –.

Ответ. –.

Пример 2. Докажем, что для любых  справедливо равенство

sin (5 – ) = sin .

Решение. По формуле (4) sin (5 – ) = sin (( – ) + 4) =
= sin ( – ). По формулам (6) и (2) sin ( – ) = sin ( + (–)) =
= –sin (–) = sin , что и т. д.

Пример 3. Вычислим А = , если  <  < .

Пользуясь формулой (1) и равенством  = |а|, имеем:

А =  = .

Так как  <  < , то cos  < 0 и sin  < 0, поэтому |cos | =
= –cos  и |sin | = –sin  и А =  = –1 – 1 = –2.

Ответ. –2.

 

28.* Арксинус и арккосинус

Пример 1. Изобразим на единичной окружности точки, соответству­ющие углам:  = arcsin ;  = arcsin;  = arccos ;

 = arccos.

Решение. Выберем для единичной окруж­ности радиус в 5 клеток. Углы  и  принадлежат промежутку , причем sin  = , sin  = –.                                                  Рис. 13

Точки, соответствующие углам  и  принадлежат промежутку [0; ], причем cos  = , cos  = –. Точки, соответствующие углам , ,  и  показаны на рисунке 13.

Пример 2. Вычислим а) arcsin (sin 10); б) arcsin (cos 0,8);
в) arccos (cos 10).

Решение. а) Число 10 не принадлежит промежутку , преобразуем sin 10 так, чтобы аргумент синуса принадлежал промежутку :

sin 10 = sin (3 – 10) и (3 – 10) ,

поэтому arcsin (sin 10) = arcsin (sin (3 – 10)) = 3 – 10.

б) Преобразуем cos 0,8 так, чтобы аргумент синуса принадлежал промежутку :

cos 0,8 = sin (0,5 – 0,8) = sin (–0,3) и (–0,3) ,

поэтому arcsin (cos 0,8) = arcsin sin (–0,3) = –0,3.

в) Число 10 не принадлежит промежутку [0; ], преобразуем cos 10 так, чтобы аргумент косинуса принадлежал промежутку [0; ]:

cos 10 = cos (4 – 10) и (4 – 10)  [0; ],

поэтому arccos (cos 10) = arccos (cos (4 – 10)) = 4 – 10.

Ответ. а) 3 – 10; б) –0,3; в) 4 – 10.

 

29. Тангенс и котангенс угла

 

Пример 1. Определим тангенс и котангенс острого угла  прямо­угольного треугольника (рис. 14).

Решение. Из курса геометрии известно, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему, поэтому tg  = ; ctg  = .

Ответ. tg  = ; ctg  = .

                                 Рис. 14                                                             Рис. 15

Пример 2. На единичной окружности отмечены точки, соответст­вующие углам ,  и , (рис. 15), определим значения тангенса и котангенса этих углов.

Решение. Так как тангенс угла есть координата точки оси танген­сов, соответствующей этому углу, а котангенс угла есть координата точки оси котангенсов, соответствующей этому углу, то tg  = ,
ctg  = ; tg  = ctg  = 1; tg  = , ctg  = .

Ответ. tg  = , ctg  = ; tg  = ctg  = 1; tg  = , ctg  = .

Пример 3. Изобразим на единичной окружности точки, соответ­ствующие всем таким углам , для каждого из которых справедливо равенство:  

Решение. а) Проведем ось тангенсов. Всем углам , для которых tg  = , соответствуют две точки единичной окружности (рис. 16, а). Все такие углы составляют серию углов: .

Рис. 16

б) Проведем ось тангенсов. Всем углам , для которых tg  = –1, соответствуют две точки единичной окружности (рис. 16, б). Все такие углы составляют серию углов: .

в) Проведем ось котангенсов. Всем углам , для которых ctg  =
= , соответствуют две точки единичной окружности (рис. 16, в). Все такие углы составляют серию углов: .

г) Проведем ось котангенсов. Всем углам , для которых ctg  =
= –, соответствуют две точки единичной окружности (рис. 16, г). Все такие углы составляют серию углов: .

 

30. Формулы для tg  и ctg  

 

Основные формулы для тангенсов и котангенсов углов:

                                       tg (–) = –tg ,                                                                   (1) 

                                       ctg (–) = –ctg ,                                                                (2) 

                                       tg ( + k) = tg , k  Z,                                                  (3) 

                                       ctg ( + k) = ctg , k  Z,                                              (4) 

                                       tg ×ctg  = 1,                                                                     (5) 

                                       tg² + 1 = ,                                                             (6) 

                                       ctg² + 1 = .                                                             (7)

Примечание. Равенства (1) – (7) справедливы для всех таких углов , для которых определены обе части этих равенств.

Пример 1. Вычислим sin , cos , ctg , если tg  = 2,4, .

Решение. По формуле (5) ctg  =  =  = . По формуле (6) cos² =  =  =  = . Так как , то cos  < 0 и cos  = – = –. Из формулы tg = следует, что sin = tg ×cos  = ×= –.

Ответ. sin  = –; cos  = –; ctg  = .

Пример 2. Вычислим А = , если sin   – cos  = –0,8.

Решение. Преобразуем А== .

Возведя равенство sin  – cos  = –0,8 в квадрат, найдем, что sincos = 0,18, тогда А =  = .

Ответ. .

 

 

31.* Арктангенс и арккотангенс

 

Пример 1. Изобразим на единичной окружности точки, соответствующие углам:           =arctg; =arctg; =arcctg; = arcctg .

Решение. Выберем для единичной окружности радиус 5 клеток. Проведем ось тангенсов и ось котангенсов. Углы  и  принадлежат промежутку , причем tg  = , tg  = ; углы  и  принадлежат промежутку (0; ), причем ctg  = –, ctg  = –. Точки, соответствующие углам , ,  и  показаны на рисунке 17.

Рис. 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Вычислим tg (arcsin a).

Решение. Обозначим  = arcsin a, так как , то sin  = а.

Сначала вычислим tg²:

tg² =  = . Учитывая, что в промежутке  sin  и tg  имеют одинаковые знаки, имеем: tg  = .

Ответ. .

 

 

 

 

 

32. Косинус суммы и разности двух углов. Синус суммы и разности двух углов

 

Формулы косинуса разности и косинуса суммы двух углов:

                            cos () = cos  cos  + sin  sin ,                                      (1)

                            cos () = cos  cos  – sin  sin .                                      (2)

Формулы синуса разности и синуса суммы двух углов:

                            sin () = sin  cos  – sin  cos ,                                       (3)

                            sin () = sin  cos  + sin  cos .                                       (4)

Пример 1. Вычислим:

а) А = cos 37^оcos 53^о – sin 37^оsin 53^о;

б) В = sin  cos  – sin  cos .

Решение. а) По формуле (2) А = cos (37^о +  53^о) = cos 90^о = 0.

б) По формуле (3) B = sin ( – ) = sin  = .

Ответ. а) 0; б) .

Пример 2. Упростим выражение С=cos(x–y)cos(x+y)+sin(x–y)sin(x+y).

Решение. По формуле (1) С = cos ((x – y) – (x + y)) = cos (–2y) = cos 2y.

Ответ. cos 2y.

Пример 3. Вычислим D = .

Решение. По формулам (1) и (4)

D =  =   = tg 60^о = .

Ответ. .

Пример 4. Сравним  и  .

Решение. Заметим, что

  =   =   = tg   < 0, а так

как cos 42^о + cos 42^о > 0, cos 21^о – sin 21^о > 0, то  > 0.

Поэтому   <  .

Ответ.   <  .

Пример 5. Найдем наименьшее и наибольшее значения выражения                   Е = cos x – sin x.

Решение. Преобразуем данное выражение по формуле (2):

Е=cos x–sin x=2(cos x–sin x)=2(sin  cos x – sin x cos )=2sin .

Так как , то наименьшее значение выражения Е равно –2, а наибольшее 2.

Ответ. –2 и 2.

Пример 6. Вычислим G = cos (arcsin 0,8 – arccos (–0,6)) .

Решение. Обозначим  = arcsin 0,8,  = arccos (–0,6), тогда по формуле (4) имеем:

G = cos() = cos  cos  + sin  sin .

Так как sin  = 0,8, то cos²  = 1 – sin² = 1 – 0,8² = 0,36. Так как  , то cos  0, поэтому cos  =  = 0,6.

Так как cos  = –0,6, то sin²  = 1 – cos² = 1 – (–0,6)² = 0,64. Так как 0 , то sin  0, поэтому sin  =  = 0,8.

Теперь вычислим: G = 0,6×(–0,6) + 0,8×0,8 = 0,28.

Ответ. 0,28.

 

33. Формулы приведения для синуса и косинуса

Формулами приведения называют формулы, позволяющие привести аргументы , , , , , , , , , , ,  … к аргументу .

Так как значения синуса и косинуса не изменяются от прибавления (вычитания)  к аргументу, то синус (косинус) любого из указанных выше аргументов нетрудно свести к синусу (косинусу) аргументов , , , , , , которые можно привести к аргументу , применяя формулы синуса (косинуса) суммы (разности) двух углов.

Выпишем все 12 формул для указанных выше шести аргументов:

sin  = cos                   sin  = cos                      sin  = sin 

cos  = sin                   cos  = –sin                    cos  = –cos 

sin  = –cos               sin  = –cos                 sin  = –sin 

cos  = –sin               cos  = sin                   cos  = –cos 

Все эти формулы можно запомнить с помощью следующего мнемонического правила[1]. Для этого надо научиться определять: 1) надо ли менять синус на косинус или косинус на синус; 2) надо ли в правой части формулы ставить знак «–».

1) Если первое слагаемое аргумента  или , то в правой части формулы надо заменить синус на косинус (косинус на синус). Если первое слагаемое аргумента , то менять синус (косинус) не надо.

2) В правой части формулы надо поставить знак «–», только если для острого угла  значение синуса (косинуса) в левой части формулы отрицательно.

Пример 1. Вычислим cos  + sin , если sin  = –0,1.

Решение. cos  + sin  = cos  +
+ sin  = cos  + sin  = А.

Теперь можно применить или формулы косинуса суммы и синуса разности двух углов:

А = cos  cos  – sin  sin + sin  cos  – sin cos  =
 = 0×cos  – (–1)×sin + 0×cos  – sin×(–1) = sin  + sin  = 2 sin ;

или мнемоническое правило:

А = sin  + sin  = 2 sin .

Так как sin  = –0,1, то 2 sin = 2×(–0,1) = –0,2.

Ответ. –0,2.

Пример 2. Вычислим , если tg  = 3.

Решение.  = .

Так как tg  = 3, то соs 0. Разделим числитель и знаменатель дроби  на соs  и вычислим значение полученного выражения:  =  =  = .

Ответ. .

 

34. Сумма и разность синусов и косинусов

 

Формулы суммы и разности синусов:

                            sin  + sin  = 2,                                           (1)

                            sin  – sin  = 2.                                            (2)

Формулы суммы и разности косинусов:

                            cos  + cos  = 2,                                        (3)

                            cos  – cos  = –2.                                        (4)

Пример 1. Запишем в виде произведения:

а) A = sin 80^о + sin 40^о;                                               б) В = cos 80^о – cos 40^о.

Решение. а) По формуле (1)

 А=2=2sin 60^оcos 20^о= cos 20^о =  cos 20^о.

б) По формуле (4)

В=–2=–2sin 60^оsin 20^о=–sin 20^о=– sin 20^о.

Ответ. а)  cos 20^о; б) – sin 20^о.

Пример 2. Вычислим: С = sin 130^о – sin 10^о – cos 100^о – cos 40^о.

Решение. По формулам (2) и (3)

С=2–2=

=cos70^о–cos70^о=0.

Ответ. 0.

Пример 3. Запишем в виде произведения:

D = sin 31^о + sin 25^о + sin 19^о.

Решение. По формуле (1) D = 2 + sin 25^о =
= 2sin 25^о cos 6^о + sin 25^о = 2sin 25^о(cos 6^о + ) = 2sin 25^о (cos 6^о + cos 60^о) =
= 2sin 25^о ×2 = 4sin 25^о × sin 33^о × cos 27^о.

Ответ. 4sin 25^о × sin 33^о × cos 27^о.

 

35. Формулы синусов и косинусов двойных и половинных углов

 

Формулы синуса и косинуса двойного угла:

                            sin 2 = 2sin  cos ,                                                                  (1)

                            cos 2 = cos²  – sin² .                                                              (2)

Формулы синуса и косинуса половинного угла:

                            sin² = ,                                                                         (3)

                            cos² = .                                                                        (4)

Пример 1. Вычислим sin 2 и cos 2, если cos  = – и .

Решение. sin² = 1 – cos² = 1 –  = . Так как , то sin  < 0, следовательно, sin  = –. По формулам (1) и (2) имеем:

                        sin 2 = 2sin  cos  = 2×× = ,

                        cos 2 = cos²  – sin²  =  –  = –.

Ответ. sin 2 = , cos 2 = –.

Пример 2. Докажем равенство sin 2 =  ().

Решение. Запишем sin 2 в виде дроби, затем разделим числитель и знаменатель дроби на sin²  :

sin 2 =  = .

Пример 3. Вычислим sin  и cos , если cos  = –0,28, .

Решение. По формулам (3) и (4): sin² =  =  = 0,64,
cos² =  =  = 0,36.

Так как , то , поэтому sin  > 0, а cos  < 0, следовательно, sin  =  = 0,8, а cos  = – = –0,6.

 

 

 

 

 

 

36. Произведения синусов и косинусов

 

Формулы произведений синусов и косинусов:

                            sin  cos  =  (sin ( + ) + sin ( – )),                               (1)

                            cos  cos  =  (cos ( + ) + cos ( – )),                           (2)

                            sin  sin  =  (cos ( – ) – cos ( + )).                              (3)

Пример 1. Запишем в виде суммы или разности:

а) sin 21^о cos 9^о;                            б) cos 32^о cos 28^о;                      в) sin 45^о sin 15^о.

Решение. Применяя последовательно формулы (1) – (3), имеем:

а) sin 21^о cos 9^о = (sin 30^о + sin 12^о) =  + sin 12^о;

б) cos 32^о cos 28^о = (cos 60^о + cos 4^о) =  + cos 4^о;

в) sin 55^о sin 25^о = (cos 30^о – cos 80^о) =  – cos 80^о.

Ответ. а)  + sin 12^о; б)  + cos 4^о; в)  – cos 80^о.

Пример 2. Вычислим: а) А = sin 32^о cos 28^о – sin 17^о cos 13^о;

б) В = cos  cos  – sin  sin .

Решение. а) По формуле (1) А = (sin 60^о + sin 4^о) –
– (sin 30^о + sin 4^о) = (sin 60^о + sin 4^о – sin 30^о – sin 4^о) =
= (sin 60^о – sin 30^о) =  = .

б) По формулам (2) и (3) В =  (cos ( + ) + cos ( – ) –
–  (cos ( – ) – cos ( + ) = (cos  + cos  – cos  +
+ cos ) = (cos  + cos ) = ( – ) = 0.

Ответ. а) ; б) 0.

 

37. Формулы для тангенсов

 

Формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов:

                            tg ( + ) = ,                                                            (1)

                            tg ( – ) = .                                                            (2)

Формулы тангенса двойного и половинного угла:

                            tg 2 = ,                                                                          (3)

                            tg  =  = .                                                      (4)

Примечание. Равенства (1) – (4) справедливы для всех таких углов , для которых определены обе части этих равенств.

Пример 1. Вычислим tg ( + ) и tg ( – ), если tg  = , tg  = .

Решение. По формулам (1) и (2):

tg ( + ) =  =  = 1, tg ( – ) =  =  = .

Ответ. а) 1; б) .

Пример 2. Вычислим .

Решение. По формуле (2):

 = tg (97^о – 37^о) = tg 60^о = .

Ответ. .

Пример 3. Вычислим tg 4, если tg  = .

Решение. По формуле (3):

tg 2 =  =  = ,

tg 4 =  =  = .

Ответ. .

Пример 4. Вычислим tg 15 ^о.

Решение. I способ. По формуле (4):

tg 15 ^о =  =  =  =  = .

II способ. По формуле (2):

tg 15 ^о = tg (45^о – 30^о) =  =  =  = .

Ответ. .

 

38. Тригонометрические функции

 

Пример 1. Задана функция у = sin 2х. Укажем промежутки:

а) возрастания;                                        б) убывания

этой функции.

Решение. Обозначив  = 2х, рассмотрим функцию у = sin , R.

а) Функция у = sin  возрастает на промежутках , где nZ. Так как  = 2х, то для х справедливо двойное неравенство  или , где n  Z.

Таким образом, функция у = sin 2х возрастает на промежутках , где n  Z.

б) Функция у = sin  убывает на промежутках , где nZ. Так как  = 2х, то для х справедливо двойное неравенство  или , где n  Z.

Таким образом, функция у = sin 2х убывает на промежутках , где n  Z.

Пример 2. Определим наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 4cos² 2х + 3sin² 2х.

Решение. Так как f (x) = 4cos² 2х + 3sin² 2х = cos² 2х + 3(cos² 2х +
+ sin² 2х) = cos² 2х + 3, то из условия 0  cos² 2х  1 следует, что
3  cos² 2х + 3  4. Причем, например, f  = 3, а f (0) = 4. Это означает, что наибольшее и наименьшее значения функции f (x) равны соответственно 3 и 4.

Пример 3. Построим график функции f (x) = .

Решение. Функция f (x) определена для всех x  , где nZ.

1) Для тех x, для которых tg x  0, имеем f (x) =  =
=  = tg x. Поэтому для таких х график функции совпадает с графиком функции у = tg x.

2) Для тех x, для которых tg x < 0, имеем f (x) =  =
=  = 0. Поэтому для таких х график функции есть точки оси Ох (рис. 18).

 Рис. 18

 

39. Тригонометрические уравнения

 

Пример 1. Решим уравнение

                                       8sin х – 6sin хcos х + 3cos х – 4 = 0.                                   (1)

Решение. Разложим левую часть уравнения (1) на множители:

                                       4(2sin х – 1) – 3cos х (2sin х – 1) = 0,

                                       (2sin х – 1)(4 – 3cos х) = 0.                                                  (2)

Все решения уравнения (2) являются решениями двух простейших уравнений:

                              1) sin х =                     и          2) cos х = .

Все решения уравнения 1) составляют две серии

                           x_n =  + 2n, n  Z, x_m =  + 2m, m  Z,

а уравнение 2) не имеет решений, так как cos х  1, а  > 1.

Следовательно, уравнение (1) имеет те же две серии решений, которые объединяют обычно так: x_k = (–1)^k  + k, k  Z.

Ответ. (–1)^k  + k, k  Z.

 

40. Замена неизвестного при решении тригонометрических уравнений

 

Пример 1. Решим уравнение

                                                         sin (3х – ) = 1.                                                (1)

Решение. Обозначив  = 3х – , перепишем уравнение (1) в виде:

sin  = 1, все решения которого составляют единственную серию
_n =  + 2n, n  Z.

Теперь найдем все решения уравнения (1):

                                          3х_n –  =  + 2n,

                                          3х_n =  + 2n,

                                          х_n =  + , n  Z.

Ответ.  + , n  Z.

Пример 2. Решим уравнение

                                                         cos² х – 4cos х + 3 = 0.                                      (2)

Решение. Уравнение (2) квадратное относительно cos х. Обозначив t = cos х, перепишем его в виде:

                                                         t ² – 4 t + 3 = 0.                                                  (3)

Уравнение (3) имеет корни t₁ = 1 и t₂ = 3, следовательно, множество решений уравнения (2) является объединением множеств решений двух уравнений:

                                       1) cos х = 1           и         2) cos х = 3.

Все решения уравнения 1) составляют единственную серию
x_n = 2n, n  Z, а уравнение 2) не имеет решений, так как 3 > 1, а
cos х  1 для любого х.

Следовательно, уравнение (2) имеет единственную серию решений x_n = 2n, n  Z.

Ответ. 2n, n  Z.

Пример 3. Решим уравнение

                                                tg³ х – tg² х – 3tg х + 3 = 0.                                         (4)

Решение. Обозначив t = tg х, перепишем уравнение (4) в виде:

                                                t ³  – t ² – 3t + 3 = 0.                                                    (5)

Разложив левую часть уравнения (5) на множители, перепишем его в виде:

                                                         (t  – 1)(t ² – 3) = 0.                                              (6)

Уравнение (6) имеет корни t₁ = 1, t₂ = – и t₃ = , следовательно, множество решений уравнения (4) есть объединение множеств решений трех уравнений:

                           1) tg х = 1;                      2) tg х = –;                3) tg х = .

Все решения каждого из уравнений 1), 2) и 3) составляют единственную серию соответственно: x_n =  + n, n  Z, x_m = – + m, m  Z и x_p =  + p, p  Z.

Следовательно, все решения уравнения (4) составляют эти три серии.

Ответ.  + n, n  Z, x_m = – + m, m  Z, x_p =  + p, p  Z.

 

41. Применение тригонометрических формул при решении уравнений

 

Пример 1. Решим уравнение

                                                         cos² х + 4sin х + 4 = 0.                                (1)

Решение. Применяя основное тригонометрическое тождество, перепишем уравнение (1) в виде:

                                                         sin² х – 4sin х – 5 = 0.                                  (2)

Уравнение (2) квадратное относительно sin х. Обозначив
t = sin х, перепишем его в виде:

                                                         t ² – 4 t – 5 = 0.                                                   (3)

Уравнение (3) имеет корни t₁ = –1 и t₂ = 5, следовательно, множество решений уравнения (1) есть объединение множеств решений двух уравнений:

                                       1) sin х = –1       и         2) sin х = 5.

Все решения уравнения 1) составляют единственную серию

                                       x_n = – + 2n,

                                       x_n = – + 2n, n  Z,

а уравнение 2) не имеет решений, так как 5 > 1, а sin х  1 для любого х.

Следовательно, уравнение (1) имеет единственную серию решений x_n = – + 2n, n  Z.

Ответ. – + 2n, n  Z.

Пример 2. Решим уравнение

                        sin 2х cos  + sin  cos 2х = .                               (4)

Решение. Применяя формулу синуса суммы двух углов, перепишем уравнение (4) в виде:

                                       sin (3х + ) = .                                                             (5)

Обозначив t = 3х + , перепишем уравнение (5) в виде:

                                       sin t = .                                                                           (6)

Уравнение (6) имеет две серии решений

                           t_n =  + 2n, n  Z, t_m =  + 2m, m  Z.

Следовательно,

                           3х_n +  =  + 2n, n  Z, 3х_m +  =  + 2m, m  Z.

Откуда найдем две серии решений уравнения (5):

                           х_n = n, n  Z, х_m =  + , m  Z.

Следовательно, уравнение (4) имеет те же серии решений.

Ответ. n, n  Z,  + , m  Z.

Пример 3. Решим уравнение

                                       sin⁴ x + cos⁴ x – sin 2x = .                                                (7)

Решение. Перепишем уравнение (7) в виде:

                           (sin² x + cos² x)² – 2sin² x cos² x – sin 2x = ,

                           1 – sin² 2x – sin 2x = ,

                           sin² 2x + 2sin 2x +  = 0,                                                                (8)

Обозначив t = sin 2x, перепишем уравнение (8) в виде:

                           t²  + 2t +  = 0.

Это уравнение имеет два корня t₁  = – и t₂  = –. Следовательно, множество решений уравнения (8) есть объединение множеств решений двух уравнений:

                              1) sin 2x = –              и         2) sin 2х = –.

Все решения уравнения 1) составляют две серии x_n = – + n,
n  Z и x_n = – + m, m  Z, а уравнение 2) не имеет решений, так как – < –1, а sin 2х  –1 для любого х.

Следовательно, уравнение (7) имеет те же серии решений.

Ответ. – + n, n  Z и x_n = – + m, m  Z.

Пример 1. Вычислим:

а) А = cos 37^оcos 53^о – sin 37^оsin 53^о;

б) В = sin  cos  – sin  cos .

Решение. а) По формуле (2) А = cos (37^о +  53^о) = cos 90^о = 0.

б) По формуле (3) B = sin ( – ) = sin  = .

Ответ. а) 0; б) .

Пример 2. Упростим выражение

С = cos (x – y) cos (x + y) + sin (x – y) sin (x + y).

Решение. По формуле (1)

С = cos ((x – y) – (x + y)) = cos (–2y) = cos 2y.

Ответ. cos 2y.

Пример 3. Вычислим D = .

Решение. По формулам (1) и (4)

D =  =  = tg 60^о = .

Ответ. .

Пример 4. Сравним  и .

Решение. Заметим, что

 =  =  = tg  < 0, а так

как cos 42^о + cos 42^о > 0, cos 21^о – sin 21^о > 0, то  > 0.

Поэтому  < .

Ответ.  < .

Пример 5. Найдем наименьшее и наибольшее значения выражения Е = cos x – sin x.

Решение. Преобразуем данное выражение по формуле (2):

Е = cos x – sin x = 2(cos x – sin x) =
= 2(sin  cos x – sin x cos ) = 2 sin .

Так как , то наименьшее значение выражения Е равно –2, а наибольшее 2.

Ответ. –2 и 2.

Пример 6. Вычислим G = cos (arcsin 0,8 – arccos (–0,6)) .

Решение. Обозначим  = arcsin 0,8,  = arccos (–0,6), тогда по формуле (4) имеем:

G = cos() = cos  cos  + sin  sin .

Так как sin  = 0,8, то cos²  = 1 – sin² = 1 – 0,8² = 0,36. Так как , то cos  0, поэтому cos  =  = 0,6.

Так как cos  = –0,6, то sin²  = 1 – cos² = 1 – (–0,6)² = 0,64. Так как 0 , то sin  0, поэтому sin  =  = 0,8.

Теперь вычислим: G = 0,6×(–0,6) + 0,8×0,8 = 0,28.

Ответ. 0,28.

 

33. Формулы приведения для синуса и косинуса

Формулами приведения называют формулы, позволяющие привести аргументы , , , , , , , , , , ,  … к аргументу .

Так как значения синуса и косинуса не изменяются от прибавления (вычитания)  к аргументу, то синус (косинус) любого из указанных выше аргументов нетрудно свести к синусу (косинусу) аргументов , , , , , , которые можно привести к аргументу , применяя формулы синуса (косинуса) суммы (разности) двух углов.

Выпишем все 12 формул для указанных выше шести аргументов:

sin  = cos                   sin  = cos                      sin  = sin 

cos  = sin                   cos  = –sin                    cos  = –cos 

sin  = –cos               sin  = –cos                 sin  = –sin 

cos  = –sin               cos  = sin                   cos  = –cos 

Все эти формулы можно запомнить с помощью следующего мнемонического правила[2]. Для этого надо научиться определять: 1) надо ли менять синус на косинус или косинус на синус; 2) надо ли в правой части формулы ставить знак «–».

1) Если первое слагаемое аргумента  или , то в правой части формулы надо заменить синус на косинус (косинус на синус). Если первое слагаемое аргумента , то менять синус (косинус) не надо.

2) В правой части формулы надо поставить знак «–», только если для острого угла  значение синуса (косинуса) в левой части формулы отрицательно.

Пример 1. Вычислим cos  + sin , если sin  = –0,1.

Решение. cos  + sin  = cos  +
+ sin  = cos  + sin  = А.

Теперь можно применить или формулы косинуса суммы и синуса разности двух углов:

А = cos  cos  – sin  sin + sin  cos  – sin cos  =
 = 0×cos  – (–1)×sin + 0×cos  – sin×(–1) = sin  + sin  = 2 sin ;

или мнемоническое правило:

А = sin  + sin  = 2 sin .

Так как sin  = –0,1, то 2 sin = 2×(–0,1) = –0,2.

Ответ. –0,2.

Пример 2. Вычислим , если tg  = 3.

Решение.  = .

Так как tg  = 3, то соs 0. Разделим числитель и знаменатель дроби  на соs  и вычислим значение полученного выражения:  =  =  = .

Ответ. .

 

34. Сумма и разность синусов и косинусов

 

Формулы суммы и разности синусов:

                            sin  + sin  = 2,                                           (1)

                            sin  – sin  = 2.                                            (2)

Формулы суммы и разности косинусов:

                            cos  + cos  = 2,                                        (3)

                            cos  – cos  = –2.                                        (4)

Пример 1. Запишем в виде произведения:

а) A = sin 80^о + sin 40^о;                                               б) В = cos 80^о – cos 40^о.

Решение. а) По формуле (1) А = 2 =
= 2sin 60^о cos 20^о =  cos 20^о =  cos 20^о.

б) По формуле (4) В = –2 =
= –2sin 60^о sin 20^о = – sin 20^о = – sin 20^о.

Ответ. а)  cos 20^о; б) – sin 20^о.

Пример 2. Вычислим: С = sin 130^о – sin 10^о – cos 100^о – cos 40^о.

Решение. По формулам (2) и (3) С = 2 –
– 2 =  cos 70^о –  cos 70^о = 0.

Ответ. 0.

Пример 3. Запишем в виде произведения:

D = sin 31^о + sin 25^о + sin 19^о.

Решение. По формуле (1) D = 2 + sin 25^о =
= 2sin 25^о cos 6^о + sin 25^о = 2sin 25^о(cos 6^о + ) = 2sin 25^о (cos 6^о + cos 60^о) =
= 2sin 25^о ×2 = 4sin 25^о × sin 33^о × cos 27^о.

Ответ. 4sin 25^о × sin 33^о × cos 27^о.

 

35. Формулы синусов и косинусов двойных и половинных углов

 

Формулы синуса и косинуса двойного угла:

                            sin 2 = 2sin  cos ,                                                                  (1)

                            cos 2 = cos²  – sin² .                                                              (2)

Формулы синуса и косинуса половинного угла:

                            sin² = ,                                                                         (3)

                            cos² = .                                                                        (4)

Пример 1. Вычислим sin 2 и cos 2, если cos  = – и .

Решение. sin² = 1 – cos² = 1 –  = . Так как , то sin  < 0, следовательно, sin  = –. По формулам (1) и (2) имеем:

                        sin 2 = 2sin  cos  = 2×× = ,

                        cos 2 = cos²  – sin²  =  –  = –.

Ответ. sin 2 = , cos 2 = –.

Пример 2. Докажем равенство sin 2 =  ().

Решение. Запишем sin 2 в виде дроби, затем разделим числитель и знаменатель дроби на sin²  :

sin 2 =  = .

Пример 3. Вычислим sin  и cos , если cos  = –0,28, .

Решение. По формулам (3) и (4): sin² =  =  = 0,64,
cos² =  =  = 0,36.

Так как , то , поэтому sin  > 0, а cos  < 0, следовательно, sin  =  = 0,8, а cos  = – = –0,6.

 

36. Произведения синусов и косинусов

 

Формулы произведений синусов и косинусов:

                            sin  cos  =  (sin ( + ) + sin ( – )),                               (1)

                            cos  cos  =  (cos ( + ) + cos ( – )),                           (2)

                            sin  sin  =  (cos ( – ) – cos ( + )).                              (3)

Пример 1. Запишем в виде суммы или разности:

а) sin 21^о cos 9^о;                            б) cos 32^о cos 28^о;                      в) sin 45^о sin 15^о.

Решение. Применяя последовательно формулы (1) – (3), имеем:

а) sin 21^о cos 9^о = (sin 30^о + sin 12^о) =  + sin 12^о;

б) cos 32^о cos 28^о = (cos 60^о + cos 4^о) =  + cos 4^о;

в) sin 55^о sin 25^о = (cos 30^о – cos 80^о) =  – cos 80^о.

Ответ. а)  + sin 12^о; б)  + cos 4^о; в)  – cos 80^о.

Пример 2. Вычислим: а) А = sin 32^о cos 28^о – sin 17^о cos 13^о;

б) В = cos  cos  – sin  sin .

Решение. а) По формуле (1) А = (sin 60^о + sin 4^о) –
– (sin 30^о + sin 4^о) = (sin 60^о + sin 4^о – sin 30^о – sin 4^о) =
= (sin 60^о – sin 30^о) =  = .

б) По формулам (2) и (3) В =  (cos ( + ) + cos ( – ) –
–  (cos ( – ) – cos ( + ) = (cos  + cos  – cos  +
+ cos ) = (cos  + cos ) = ( – ) = 0.

Ответ. а) ; б) 0.

 

37. Формулы для тангенсов

 

Формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов:

                            tg ( + ) = ,                                                            (1)

                            tg ( – ) = .                                                            (2)

Формулы тангенса двойного и половинного угла:

                            tg 2 = ,                                                                          (3)

                            tg  =  = .                                                      (4)

Примечание. Равенства (1) – (4) справедливы для всех таких углов , для которых определены обе части этих равенств.

Пример 1. Вычислим tg ( + ) и tg ( – ), если tg  = , tg  = .

Решение. По формулам (1) и (2):

tg ( + ) =  =  = 1, tg ( – ) =  =  = .

Ответ. а) 1; б) .

Пример 2. Вычислим .

Решение. По формуле (2):

 = tg (97^о – 37^о) = tg 60^о = .

Ответ. .

Пример 3. Вычислим tg 4, если tg  = .

Решение. По формуле (3):

tg 2 =  =  = ,

tg 4 =  =  = .

Ответ. .

Пример 4. Вычислим tg 15 ^о.

Решение. I способ. По формуле (4):

tg 15 ^о =  =  =  =  = .

II способ. По формуле (2):

tg 15 ^о = tg (45^о – 30^о) =  =  =  = .

Ответ. .

 

38. Тригонометрические функции

 

Пример 1. Задана функция у = sin 2х. Укажем промежутки: а) возрастания; б) убывания этой функции.

Решение. Обозначив  = 2х, рассмотрим функцию у = sin , R.

а) Функция у = sin  возрастает на промежутках , где nZ. Так как  = 2х, то для х справедливо двойное неравенство  или , где n  Z.

Таким образом, функция у = sin 2х возрастает на промежутках , где n  Z.

б) Функция у = sin  убывает на промежутках , где nZ. Так как  = 2х, то для х справедливо двойное неравенство  или , где n  Z.

Таким образом, функция у = sin 2х убывает на промежутках , где n  Z.

Пример 2. Определим наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 4cos² 2х + 3sin² 2х.

Решение. Так как f (x) = 4cos² 2х + 3sin² 2х = cos² 2х + 3(cos² 2х +
+ sin² 2х) = cos² 2х + 3, то из условия 0  cos² 2х  1 следует, что
3  cos² 2х + 3  4. Причем, например, f  = 3, а f (0) = 4. Это означает, что наибольшее и наименьшее значения функции f (x) равны соответственно 3 и 4.

Пример 3. Построим график функции f (x) = .

Решение. Функция f (x) определена для всех x  , где nZ.

1) Для тех x, для которых tg x  0, имеем f (x) =  =
=  = tg x. Поэтому для таких х график функции совпадает с графиком функции у = tg x.

2) Для тех x, для которых tg x < 0, имеем f (x) =  =
=  = 0. Поэтому для таких х график функции есть точки оси Ох (рис. 18).

 Рис. 18

 

39. Тригонометрические уравнения

 

Пример 1. Решим уравнение   8sin х – 6sin хcos х + 3cos х – 4 = 0.       (1)

Решение. Разложим левую часть уравнения (1) на множители: 4(2sin х – 1) – 3cos х (2sin х – 1) = 0,

                                       (2sin х – 1)(4 – 3cos х) = 0.                                   (2)

Все решения уравнения (2) являются решениями двух простейших уравнений:

1) sin х =     и          2) cos х = .

Все решения уравнения 1) составляют две серии x_n =  + 2n, n  Z, x_m =  + 2m, m  Z,

а уравнение 2) не имеет решений, так как cos х  1, а  > 1.

Следовательно, уравнение (1) имеет те же две серии решений, которые объединяют обычно так:            x_k = (–1)^k  + k, k  Z.

Ответ. (–1)^k  + k, k  Z.

 

40. Замена неизвестного при решении тригонометрических уравнений

 

Пример 1. Решим уравнение          sin (3х – ) = 1.         (1)

Решение. Обозначив  = 3х – , перепишем уравнение (1) в виде:

sin  = 1, все решения которого составляют единственную серию _n =  + 2n, n  Z.

Теперь найдем все решения уравнения (1):

                                          3х_n –  =  + 2n,

                                          3х_n =  + 2n,

                                          х_n =  + , n  Z.

Ответ.  + , n  Z.

Пример 2. Решим уравнение    cos² х – 4cos х + 3 = 0.                    (2)

Решение. Уравнение (2) квадратное относительно cos х. Обозначив t = cos х, перепишем его в виде:     t ² – 4 t + 3 = 0.                                                         (3)

Уравнение (3) имеет корни t₁ = 1 и t₂ = 3, следовательно, множество решений уравнения (2) является объединением множеств решений двух уравнений:       1) cos х = 1     и         2) cos х = 3.

Все решения уравнения 1) составляют единственную серию x_n = 2n, n  Z, а уравнение 2) не имеет решений, так как 3 > 1, а cos х  1 для любого х.

Следовательно, уравнение (2) имеет единственную серию решений x_n = 2n, n  Z.

Ответ. 2n, n  Z.

Пример 3. Решим уравнение   tg³ х – tg² х – 3tg х + 3 = 0.                                    (4)

Решение. Обозначив t = tg х, перепишем уравнение (4) в виде:

                                                t ³  – t ² – 3t + 3 = 0.                                                    (5)

Разложив левую часть уравнения (5) на множители, перепишем его в виде:

                                                         (t  – 1)(t ² – 3) = 0.                                              (6)

Уравнение (6) имеет корни t₁ = 1, t₂ = – и t₃ = , следовательно, множество решений уравнения (4) есть объединение множеств решений трех уравнений:

                           1) tg х = 1;                      2) tg х = –;                3) tg х = .

Все решения каждого из уравнений 1), 2) и 3) составляют единственную серию соответственно: x_n =  + n, n  Z, x_m = – + m, m  Z и x_p =  + p, p  Z.

Следовательно, все решения уравнения (4) составляют эти три серии.

Ответ.  + n, n  Z, x_m = – + m, m  Z, x_p =  + p, p  Z.

 

41. Применение тригонометрических формул при решении уравнений

 

Пример 1. Решим уравнение       cos² х + 4sin х + 4 = 0.       (1)

Решение. Применяя основное тригонометрическое тождество, перепишем уравнение (1) в виде:

                                                         sin² х – 4sin х – 5 = 0.       (2)

Уравнение (2) квадратное относительно sin х. Обозначив t = sin х, перепишем его в виде:

                                                         t ² – 4 t – 5 = 0.                         (3)

Уравнение (3) имеет корни t₁ = –1 и t₂ = 5, следовательно, множество решений уравнения (1) есть объединение множеств решений двух уравнений: 1) sin х = –1         и         2) sin х = 5.

Все решения уравнения 1) составляют единственную серию

                                       x_n = – + 2n, x_n = – + 2n, n  Z,

а уравнение 2) не имеет решений, так как 5 > 1, а sin х  1 для любого х.

Следовательно, уравнение (1) имеет единственную серию решений x_n = – + 2n, n  Z.

Ответ. – + 2n, n  Z.

Пример 2. Решим уравнение  sin 2х cos  + sin  cos 2х = . (4)

Решение. Применяя формулу синуса суммы двух углов, перепишем уравнение (4) в виде:

                                       sin (3х + ) = .                                                                       (5)

Обозначив t = 3х + , перепишем уравнение (5) в виде:          sin t = .                 (6)

Уравнение (6) имеет две серии решений

                           t_n =  + 2n, n  Z, t_m =  + 2m, m  Z.

Следовательно,

                           3х_n +  =  + 2n, n  Z, 3х_m +  =  + 2m, m  Z.

Откуда найдем две серии решений уравнения (5):

                           х_n = n, n  Z, х_m =  + , m  Z.

Следовательно, уравнение (4) имеет те же серии решений.

Ответ. n, n  Z,  + , m  Z.

Пример 3. Решим уравнение  sin⁴ x + cos⁴ x – sin 2x = .         (7)

Решение. Перепишем уравнение (7) в виде: (sin² x + cos² x)² – 2sin² x cos² x – sin 2x = ,

                           1 – sin² 2x – sin 2x = ,

                           sin² 2x + 2sin 2x +  = 0,                                    (8)

Обозначив t = sin 2x, перепишем уравнение (8) в виде: t²  + 2t +  = 0.

Это уравнение имеет два корня t₁  = – и t₂  = –. Следовательно, множество решений уравнения (8) есть объединение множеств решений двух уравнений: 1) sin 2x = – и  2) sin 2х = –.

Все решения уравнения 1) составляют две серии x_n = – + n, n  Z и x_n = – + m, m  Z, а уравнение 2) не имеет решений, так как – < –1, а sin 2х  –1 для любого х. Следовательно, уравнение (7) имеет те же серии решений.

Ответ. – + n, n  Z и x_n = – + m, m  Z.